Enfant, il commence par jouer du piano puis de la batterie avant de se tourner vers la contrebasse et le tuba une fois arrivé au lycée.
En 1957, il fonde le groupe MJT +3 aux cotés de Walter Perkins, Frank Strozier , Harold Mabern et Willie Thomas. Il rencontre Sonny Rollins en 1959, c’est Walter Perkins qui le recommande pour remplacer d’urgence le bassiste de Rollins sur une de ses tournées.
Il collabore aussi avec Duke Pearson et entame en parallèle une participation à de nombreuses émissions de télévision comme bassiste dans l'orchestre de Billy Taylor, dans la série américaine 1, rue Sésame ou encore dans le désormais très populaire Saturday Night Live.
Au cours de sa longue carrière, il a collaboré avec le plus grands noms du jazz, dont Ella Fitzgerald, Dexter Gordon, Grant Green, Coleman Hawkins, Joe Henderson, Johnny Hodges, Freddie Hubbard, Bobby Hutcherson, J.J. Johnson, Jackie McLean, Hank Mobley, Thelonious Monk, James Moody, Lee Morgan, Wes Montgomery, Oscar Peterson, George Shearing, Wayne Shorter, Horace Silver, Stanley Turrentine, George Benson…
Bob Cranshaw est décédé le 2 novembre, à 83 ans.